感谢 @灰之魔女 的指正。有人打错公式了……

显然 \displaystyle\int_0^1\sqrt[3]{(1-x)^n}\,\mathrm dx=\frac{3}{n+3}\sim\frac{3}{n} 。因此只需求 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3}\int_0^1\frac{\ln^n(1+x)}{x^n}\,\mathrm dx 。

这又是一个 \text{Laplace} 积分渐进展开问题。

复制过来一下：

一般地， \text{Laplace} 积分是指F(\lambda)=\int_a^bf(x)e^{\lambda S(x)}\,\mathrm dx.\tag{1} \\

对题目中这样的 \text{Laplace} 积分有一般的渐进展开公式：

若 f,S\in C[a,b] ， \max_{x\in[a,b]}S(x) 只在一点 x=a 取到，并且在 x=a 的邻域中 f,S 任意阶可微，设 S^{(m)}(a)\ne0 且 m\ge 1 为最小，则有F(\lambda)\sim\lambda^{-1/m}\sum_{k=0}^\infty a_k\lambda^{-k/m},\quad \lambda\to+\infty, \\其中a_k=\frac{(-1)^{k+1}2^k}{k!}\Gamma\left(\frac{k+1}{m}\right)(h(a))^k\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(f(x)h(x))\Bigg|_{x=a},\\ h(x)=\frac{(S(a)-S(x))^{1-1/m}}{S'(x)}. \\

注意这里 f(x)=1,\,S(x)=\ln\dfrac{\ln(1+x)}{x} ， S(x) 在 x=0 处取到最大值 0 。

直接开算：

S'(0)=-\dfrac{1}{2} ，故 m=1 。 h(x)=\dfrac{1}{S'(x)} ， h(0)=-2 。\begin{align} a_0&=2,\\ a_1&=\frac{20}{3},\\ a_2&=-\frac{32}{9},\\ &\vdots \end{align} \\

所以 \int_0^1\frac{\ln^n(1+x)}{x^n}\,\mathrm dx=\frac{2}{n}+\frac{20}{3n^2}-\frac{32}{9n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right). \\

所以结果是 \dfrac{2}{3} 。[1][2]